国足踢进世界杯 / 2025-05-10 05:03:32
参考：https://wenku.baidu.com/view/d6c2ec8502d276a200292ef0.html
一、引入
对于最大值问题：
矩阵形式为：
对于m个约束条件、n个决策变量，选取m个初始基变量
x
i
x_{i}
xi，得到初始基可行解
(
0
,
.
.
.
,
0
,
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
m
)
T
(0,...,0,b1,b2,...,bm)^T
(0,...,0,b1,b2,...,bm)T，以及初始单纯形表。对所得的初始单纯形表，计算
σ
j
{\sigma}_j
σj，其中
σ
j
=
c
j
−
z
j
\sigma _j = c_j - z_j
σj=cj−zj，寻找最大的整数
σ
j
\sigma _j
σj，将该列所对应的变量
x
j
x_j
xj入基，该列最大的数所对应的行
x
i
x_{i}
xi 出基。
二、示例
本文以如下公式为例：
故初始基变量：
(
x
4
,
x
5
,
x
6
)
T
(x_4, x_5, x_6)^T
(x4,x5,x6)T，因为在约束条件所对应的系数矩阵中，
x
4
,
x
5
,
x
6
x_4, x_5, x_6
x4,x5,x6对应的系数向量线性无关。
故初始基可行解为：
(
0
,
0
,
0
,
10
,
8
,
4
)
(0, 0, 0, 10, 8, 4)
(0,0,0,10,8,4)
初始单纯性表：
替换基变量步骤：
1、找出最大的正数检验数
σ
j
\sigma _j
σj，即第2列数字2；
2、找最小正数
b
x
j
=
m
i
n
{
10
1
,
4
2
}
\frac{b}{x_j} = min\{\frac{10}{1}, \frac{4}{2}\}
xjb=min{110,24} 所在行，即基变量
x
6
x_6
x6 出基，
x
2
x_2
x2 入基，得到新的基变量
(
x
4
,
x
5
,
x
2
)
T
(x_4, x_5, x_2)^T
(x4,x5,x2)T，以及新的可行解：
(
0
,
2
,
0
,
8
,
10
,
0
)
(0, 2, 0, 8, 10, 0)
(0,2,0,8,10,0)；
3、进行初等行变换，使
x
2
x_2
x2 所在的列变换到
x
6
x_6
x6 所在的列的形式，得到新的单纯形表：
同理：
x
3
x_3
x3 进基变量，
x
5
x_5
x5 出基变量，得到新的单纯性表：
至此，可以求得最优解：
(
0
,
12
,
5
,
8
,
0
,
0
)
T
(0, 12, 5, 8, 0, 0)^T
(0,12,5,8,0,0)T，最大值
z
=
−
19
z=-19
z=−19.
三、检验数
如上文，对于线性规划问题，若满足约束条件组成的可行域有界，则目标函数的最优解必定在可行域的顶点上。
当选取了一定的基变量时，如上文的
(
x
4
,
x
5
,
x
6
)
T
(x_4, x_5, x_6)^T
(x4,x5,x6)T ，
x
1
,
x
2
,
x
3
x_1, x_2, x_3
x1,x2,x3为0，则当前的目标函数值：
z
0
=
−
x
1
+
2
x
2
−
x
3
+
0
x
4
+
0
x
5
+
0
x
6
z_0 = - x_1+2x_2-x_3+0x_4+ 0x_5+0x_6
z0=−x1+2x2−x3+0x4+0x5+0x6。
若
x
1
,
x
2
,
x
3
x_1, x_2, x_3
x1,x2,x3中的非基变量值
x
i
x_i
xi 一旦增加，如上，最开始可行解确定好后，增加
x
2
x_2
x2 的值，
x
4
,
x
5
,
x
6
x_4, x_5, x_6
x4,x5,x6的值必定可以减少，而
x
2
x_2
x2 的系数
c
2
=
2
>
0
c_2 = 2>0
c2=2>0 ，显然目标函数值z增加了，故目标函数值
z
0
z_0
z0 不是最优解。
而对于检验数的确定：
设
z
=
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
.
.
.
+
c
n
x
n
z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + ... + c_n x_n
z=c1x1+c2x2+...+cnxn，若
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
m
)
T
(x_1, x_2, ..., x_m)^T
(x1,x2,...,xm)T 为基变量【对应上例题中的初始基变量
(
x
4
,
x
5
,
x
6
)
T
(x_4, x_5, x_6)^T
(x4,x5,x6)T】，则
(
x
m
+
1
,
x
m
+
2
,
.
.
.
,
x
n
)
T
(x_{m+1}, x_{m+2}, ..., x_n)^T
(xm+1,xm+2,...,xn)T 为非基变量【对应上例题中的初始基变量
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
T
(x_1, x_2, x_3)^T
(x1,x2,x3)T】。显然，基变量根据约束条件可以使用非基变量表示出来，本文继续以上例题为例：
x
4
=
10
−
(
x
1
+
x
2
−
2
x
3
)
x
5
=
8
−
(
2
x
1
−
x
2
+
4
x
3
)
x
6
=
4
−
(
−
x
1
+
2
x
2
−
4
x
3
)
x_4 = 10 - (x_1 + x_2 -2x_3) \\ x_5 = 8 -(2x_1 - x_2 + 4x_3) \\ x_6 = 4 - (-x_1 + 2x_2 - 4x_3)
x4=10−(x1+x2−2x3)x5=8−(2x1−x2+4x3)x6=4−(−x1+2x2−4x3) 带入目标函数：
z
=
−
x
1
+
2
x
2
−
x
3
+
0
∗
(
10
−
(
x
1
+
x
2
−
2
x
3
)
)
+
0
∗
(
8
−
(
2
x
1
−
x
2
+
4
x
3
)
)
+
0
∗
(
4
−
(
−
x
1
+
2
x
2
−
4
x
3
)
)
z = - x_1+2x_2-x_3+0 * (10 - (x_1 + x_2 -2x_3))+ 0*(8 -(2x_1 - x_2 + 4x_3)) +0*(4 - (-x_1 + 2x_2 - 4x_3))
z=−x1+2x2−x3+0∗(10−(x1+x2−2x3))+0∗(8−(2x1−x2+4x3))+0∗(4−(−x1+2x2−4x3))
化为一般式：
z
=
(
c
m
+
1
−
(
Σ
i
=
1
m
c
i
∗
c
i
(
m
+
1
)
)
)
x
m
+
1
+
(
c
m
+
2
−
(
Σ
i
=
1
m
c
i
∗
c
i
(
m
+
2
)
)
)
x
m
+
2
+
.
.
.
+
(
c
n
−
(
Σ
i
=
1
m
c
i
∗
c
i
n
)
)
x
n
+
Σ
i
=
1
m
b
i
z = (c_{m+1} - (\Sigma _{i=1} ^m ci*c_{i(m+1)})) x_{m+1} + (c_{m+2}-(\Sigma _{i=1} ^m ci*c_{i(m+2)})) x_{m+2} + ... + (c_n-(\Sigma _{i=1} ^m ci*c_{in})) x_n + \Sigma _{i=1} ^m b_i
z=(cm+1−(Σi=1mci∗ci(m+1)))xm+1+(cm+2−(Σi=1mci∗ci(m+2)))xm+2+...+(cn−(Σi=1mci∗cin))xn+Σi=1mbi 从上式可以看出，对任意非基变量，其消除基变量后的系数若为正数，其数值越大，目标函数
z
z
z 的取值将越大。以此作为检验数。 对于本文初始目标函数：
c
i
=
0.
(
i
=
3
,
4
,
5
)
c_i = 0. (i=3,4,5)
ci=0.(i=3,4,5) ，故初始检验数
σ
j
=
c
j
\sigma_j = c_j
σj=cj 。发现
x
2
x_2
x2的检验数为2，对目标函数的更新变化最大。
以上显然未考虑
x
i
(
i
=
1
,
.
.
.
m
)
x_i(i=1,...m)
xi(i=1,...m) 在约束条件中系数不为1的情况。若将其考虑，则同样可得只含有非基变量的新的目标函数。同理，将检验数最大的非基变量换出，如上，换出
x
2
x_2
x2，那换入哪一个非基变量呢？
如上文例子，若换出
x
2
x_2
x2 ，即用其他变量来表示
x
2
x_2
x2，但是其在约束条件中拥有两个正系数1和2，换出后，需要将系数转移到右边，即使用
b
系
数
\frac{b}{系数}
系数b，此时换出一个
b
系
数
\frac{b}{系数}
系数b 更小的基变量即可。
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